아핀 변환 (Affine Transformation)

아핀 변환이란?

• 기하학적 변환 중 하나로, 직선성과 평행성을 유지하면서 2D 또는 3D 공간의 점들을 변환하는 방식
• 이미지 처리, 컴퓨터 그래픽스, 로봇 공학 등에서 사용됨

 

아핀 변환이 포함하는 기본 변환들

아래와 같은 변환을 한꺼번에 또는 조합해서 적용할 수 있음

종류	정의	2D	3D
이동 (translation)	물체를 x,y축 방향으로 옮김
회전 (rotation)	어떤 기준점을 중심으로 회전시킴	$\begin{bmatrix} cos(π/3) & −sin(π/3)\\  sin(π/3)  & cos(π/3)\\ \end{bmatrix}$	$\begin{bmatrix} cos(π/3) & −sin(π/3) & 0\\  sin(π/3)  & cos(π/3) & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}$
확대/축소 (scaling)	크기를 키우거나 줄임	\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}	\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}
반사 (reflection)	대칭 변환	\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}	\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}
왜곡 (shear)	물체를 기울이는 변환	\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}	\begin{bmatrix} 2 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}

 

이때 이동을 표현하기 위해서는 덧셈이 필요하다. 즉 아래와 같은 덧셈 연산이 필요하다.

ㅎ수식1

 

이는 (x,y)에 선형 변환 A를 적용한 뒤 x축으로 b_1, y축으로 b_2 만큼 이동시키는 식을 의미한다.

 

이때 행렬을 추가하여 이동을 표현하지 않고, 기존 벡터에 차원을 하나 더 추가하여 평행이동을 함께 표현할 수 있다.

수식2

 

위와 같이 벡터의 방향, 크기, 위치 변화를 포함하는 변환을 아핀 변환 (Affine transformation)이라고 한다.

 

참고

아핀 변환 (Affine Transformation) - 공돌이의 수학정리노트 (Angelo's Math Notes)