벡터의 선형종속과 선형독립, 기저

벡터의 선형종속과 선형독립, 기저

선형독립(Linear independent)

집합 $S = {v_1, v_2, ..., v_n}$ 의 벡터들은 $c_1v_1+c_2v_2 + ... c_nv_n = 0 $을 만족하는 계수들이 $c_1=c_2=...c_n=0 $ 이외에는 존재하지 않을 때 선형적으로 독립이라고 한다.

즉 어떤 벡터들이 선형 독립이라는 것은 각각의 벡터들이 선형 결합으로 표현되지 않는다는 것

선형독립인 벡터들의 선형결합으로 구성된 벡터 $u$ 가 있다고 하자.

$u = c_1a_1+... + c_na_n$

이때 $u$를 특징짓는 $c$들은 유일(unique)하다.

cf. 선형결합

수학에서 각 항에 상수를 곱하고 결과를 추가함으로써 일련의 항으로 구성된 표현식

예: x와 y의 선형 결합: $ax + by$

선형종속(Linear dependent)

집합 $S = {v_1, v_2, ..., v_n}$의 벡터들은 $c_1v_1+c_2v_2 + ... cnvn = 0$을 만족하는 계수들이 $c_1=c_2=...c_n=0$ 이외에 존재

즉 벡터들 중 어떤 벡터는 다른 벡터의 선형결합으로 표현된다는 것을 의미함

기저(basis)

n차원에서 n개의 선형독립인 벡터들 예를 들어 2차원 벡터에서 2개의 서로 선형독립인 벡터들은 기저이다. n차원 벡터에서 선형독립인 벡터의 수는 최대 n개이다.

전개(expansion)

n차원 벡터 $a_1, ... a_n$이 기저라고 하면 임의의 n차원 벡터 $x$를 기저들의 선형결합으로 표현할 수 있다. 예를 들어 $x = B_1a_1 + ... + B_na_n$으로 표현할 수 있는데 이때 $a_1, ... a_n$ 기저로 $x$를 전개한다고 한다.